Нахождение дифференциала функции, интегрирование Первообразная и производная

Примеры вычисления интегралов
Дифференциальные уравнения
Комплексные числа
Действия с комплексными числами
Найти формулы j
Извлечение корня из комплексного числа
Показательная форма комплексного числа
Тригонометрическая форма числа
Разложение многочлена на множители
Элементы комбинаторики
Записать матрицы смежности
Задана симметрическая матрица
Операции с матрицами

Вычислить определитель
Векторная алгебра
Линейная зависимость векторов
Линейные операции над векторами
Найти угол между векторами
Векторное произведение векторов
Найти объем пирамиды
Найти уравнение плоскости
Даны координаты вершин пирамиды
Найти уравнение прямой
Составить уравнение прямой
Найти уравнение высоты
Найти уравнение гиперболы
Найти уравнение кривой
Найти каноническое уравнение
Привести к каноническому виду
Найти характеристические числа
Предел функции
Найти предел
Исследовать на непрерывность функцию
Дифференциал функции
Применение интегралов
Несобственные интегралы
Первообразная и производная
Комплексные числа
Векторная алгебра
Цифровые сети
коммутация
форматы пакетов
Динамическая маршрутизация
эксплуатационные требования
Коллективное использование
доступность линии связи
видов трафика данных
пример вторичной сети
ИКМ-кодирование
каналы ТЧ
компьютерная математика
MATLAB
двумерный массив
визуализация
программный комплекс
Число Константа
Переменные
рабочая область
Оператор
диагностика ошибок
построение графиков
трехмерные графики
столбцовые диаграммы
Справка
Построение трехмерных
графиков и диаграм
система помощи
трехмерная графика
интерактивный режим работы
Панель инструментов
Векторы и матрицы
Функции одной переменной
построение графиков
Столбцовые диаграммы
гистограмма
Лестничные графики
Контурные и сетчатые графики
Графические средства MATLAB
Техника мультипликации
задачи анимации
дескриптор
Арифметические операторы
Операторы отношения
Логические операторы
Множество
Элементарные функции
гиперболические функции
комплексные числа
Функция Эйри
функции Якоби
Функция Лежандра
Работа с матрицами
Единичная матрица
Конкатенация
поворот матрицы
специальные матрицы
Матрица Адамара Гильберта
определитель След матрицы
Обращение матриц
Визуализация
Упорядочение
Норма вектора
матричные функции
Понятие о многомерных
массивах
двумерный массив
задание массивов
центральный элемент
численная константа
размерность массива
Структуры операторы
Массив ячеек
вектор-столбец
Решение систем
линейных уравнений
Решение СЛУ
сопряженные градиенты
метод минимизации
аппроксимация Лапласиана
Численное интегрирование
двойное интегрирование
Полиномы
дифференциальные уравнения
анализ данных
статистическая обработка
преобразование Фурье
интерполяция
Работа с файлами в MATLAB
Двоичный файл
записи файлов
программные коды
виртуальные данные
язык программирования
М-файл-функция
родительские каталоги
ошибки
записи аргументов
Условный оператор if
Циклы типа for...end
оператор pause
точки прерывания
работы со звуком
Пакеты расширений
Simulink Генераторы отчетов
имитационное моделирование
математические функции
статистические вычисления
Пакет Control System
Пакет Image Processing
Пакет Wavelet
финансово-экономические расчеты
MATLAB Compiler
Excel Link
Обьектная концепция Delphi
Обработка исключительных ситуаций
Интерфейс и логика приложения
Списки и коллекции Действия
Файлы и устройства ввода/вывода
Приложения баз данных
Механизмы управления данными

Современная математика пределы функции интегралы

  • Период элементарной математики Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме.
  • Поверхности второй степени Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина). Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  • Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа. Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа.
  • Неопределенные интегралы В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом. Весьма часто, однако, приходится решать обратную задачу, когда по заданной скорости течения какого-либо процесса требуется восстановить сам этот процесс Дифференцирование и интегральное исчисление

    • Функции нескольких переменных и их дифференцирование

       Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

    Пределы функций нескольких переменных

    Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

    Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

    Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

    Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$ Если функция непрерывна в каждой точке множества Е, то она называется непрерывной на этом множестве. Как и в случае функций одной переменной, имеет место непрерывность алгебраической суммы, произведения, частного и сложной функции, образованных непрерывными функциями нескольких переменных.

    Приближённые вычисления с помощью дифференциала

    Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$ В рамках этого курса изучаются понятия и методы теории пределов и дифференциального исчисления. Студенты знакомятся с техникой дифференцирования элементарных функций, приобретают практические навыки вычисления пределов элементарными методами и с помощью замечательных пределов и таблицы эквивалентных бесконечно малых функций, нахождения производных, исследования функций и построения их графиков.

    Производные неявно заданной функции

     Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

    Свойства градиента и производной по направлению

    Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

    Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

    Интегрирование тригонометрических функций

    Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$ Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

    Интегралы от произведений синусов и косинусов

    Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

    Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

    Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

    Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

    Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

    Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

    Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ Вычисление длины плоской линии

    Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности(гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$ Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$ Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$

    Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

    Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

    Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$

    Вычисление длины плоской линии Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

    Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

    Вычисление длины плоской линии

    Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ).

    Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

    Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

    Вычисление неберущихся интегралов

    Неберущимся является интеграл$\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

    Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

    Несобственные интегралы первого и второго рода

    Свойства несобственных интегралов первого рода Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$Исследуем сходимость несобственного интеграла$\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$ Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится. Рассмотрим теперь несобственный интеграл Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

    Несобственные интегралы второго рода

    Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

    Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

    Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$Формула интегрирования по частям Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

    Вычисление неопределенного интеграла
    Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .
    Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$

    Интеграл с переменным верхним пределом

    Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл

    Теорема о неявной функции

    Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

    Матрица Гессе
     Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .
    Ограничения функции на данное множество
    Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .
    Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .
    Связные множества

    Найдём разложение по формуле Тейлора для функции $\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y$

    Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
    Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$ Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$
    Первообразная и производная

    Частные производные

    Равенство смешанных частных производных Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$ Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$
    Частные производные высших порядков
    Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.
    Производная сложной функции Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$
    Рациональные функции и их интегрирование
    Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:
    Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .
    Определение первообразной и её свойства
    Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .