Вычисление неопределенного интеграла Первообразная и производная

Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$
Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$
Определенный интеграл Примеры вычисления интегралов
Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Рассмотрим функцию , заданную на всей плоскости $\mathbb{R}^2=x_1Ox_2$
Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Интеграл с переменным верхним пределом

Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx.$
Найдём разложение многочлена $\displaystyle f(x;y)=x^3-2y^3+3xy$

Матрица Гессе

Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$
Найдём квадратичное приближение для функции в окрестности точки и вычислим приближённо значение выражения $0{,}98^{1{,}05}$ .
Ограничения функции на данное множество
Пусть функция определена на всей плоскости $\mathbb{R}^2$ с переменными .
Функция определена на всей плоскости $\mathbb{R}^2$ .
Открытые и замкнутые области

Связные множества

Пусть ${\Omega}$ -- область в $\mathbb{R}^2$ с координатами , заданная условием $x_1\ne0$ .
Найдём разложение по формуле Тейлора для функции $\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y$

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты

Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от

и $\sqrt{ax^2+bx+c}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$ Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}.$
Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
Первообразная и производная
Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :
Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$
Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$
Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$
Частные производные высших порядков

Вычислим $\frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции из предыдущего примера.
Производная сложной функции

Пусть координаты зависят от следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$
Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком ${P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$ -- многочлен третьей степени -- на бином -- многочлен первой степени:
Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$
Разложим на множители многочлен третьей степени ${Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .
Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $\mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .
Рассмотрим функцию на всей числовой оси $\mathbb{R}$ -- на интервале $(-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $F(x)=\frac{x^3}{3}$ -- это первообразная для на $\mathbb{R}$ .