Пределы функций нескольких переменных

Пусть ${\delta}>0$ . Назовём ${\delta}$ -окрестностью точки $x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса ${\delta}$ с центром в точке

. Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки

Назовём проколотой ${\delta}$ -окрестностью $E_{{\delta}}^{x^0}$ открытый шар радиуса ${\delta}$ с центром в точке , из которого выброшена сама точка , то есть

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}=B^{x^0}_{{\delta}}\diagdown \{x^0\}.$

База всех проколотых ${\delta}$ -окрестностей точки

обозначается $x\to x^0$ .

Пусть ${\Omega}$ -- некоторое фиксированное непустое множество в $\mathbb{R}^n$ и $x^0\in\mathop{\rm clo}\nolimits ({\Omega})$ . Рассмотрим в качестве окончаний все пересечения ${\Omega}$ с проколотыми ${\delta}$ -окрестностями точки :

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega}) =E^{x^0}_{{\delta}}\cap{\Omega}.$

Тогда совокупность всех $E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ образуют базу. Эту базу мы будем обозначать $x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0$ .

Рис.7.8.

Если $x^0\in\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ , то при достаточно малых ${\delta}$ окончания $E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ совпадают с проколотыми окрестностями точки

Рис.7.9.

В 1937 году в ученом мире произошло событие чрезвычайной важности, совершенно неожиданное для всех математиков мира. Советский ученый, Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии, академик Иван Матвеевич Виноградов доказал проблему Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел. Он доказал теорему: любое нечетное число, начиная с некоторого достаточно большого, есть сумма трех простых чисел. Другими словами: среди натуральных чисел существует такое достаточно большое число, за которым всякое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел.