Интегралы от произведений синусов и косинусов

Заменяем множители подынтегральной функции по формулам:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2= \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$
$\displaystyle =\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x)); \sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos2x)$

и получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx= \frac{1}{8}\int\bigl(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x)\bigr)(1-\cos2x)dx=$
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\Bigl(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\cos4x- 2\cos^22x-\frac{1}{2}\cos2x\cos4x\Bigr)dx=$
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x- \frac{1}{8}\int(1+\cos4x)dx-\frac{1}{32}\int(\cos6x+\cos2x)dx.$

Мы применили вновь формулу понижения степени для $\cos^22x$ , а также преобразовали произведение $\cos2x\cos4x$ в сумму. Далее получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=$
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x- \frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin4x-\frac{1}{192}\sin6x-\frac{1}{64}\sin2x+C=$
$\displaystyle =\frac{1}{16}x+\frac{1}{64}\sin2x-\frac{1}{64}\sin4x- \frac{1}{192}\sin6x+C.$

Другой способ преобразований таков:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx= \frac{1}{8}\int(1+\cos2x)^2(1-\cos2x)dx= \frac{1}{8}\int(1-\cos^22x)(1+\cos2x)dx=$
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\sin^22x(1+\cos2x)dx= \frac{1}{8}\int(\sin^22x+\sin^22x\cos2x)dx=$
$\displaystyle =\frac{1}{16}\int(1-\cos4x)dx+\frac{1}{16}\int\sin^22x\,d(\sin2x)= \frac{1}{16}(x-\frac{1}{4}\sin4x)+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{3}\sin^32x+C=$
$\displaystyle =\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin4x+\frac{1}{48}\sin^32x+C.$

Первообразные, стоящие в правых частях формул, тождественно равны друг другу, хотя это видно не сразу. Докажите это при помощи тригономегрических преобразований.

Леонардо да Винчи — крупнейший представитель итальянского Возрождения — был «не только великим художником, но и великим математиком, механиком и инженером, которому обязаны важнейшими открытиями самые разнообразные отрасли физики». В любой области знаний он оставил глубокий след. Он занимался с увлечением и большой проницательностью такими науками, как математика, механика, физика, астрономия, геология, ботаника, анатомия и физиология человека и животного.