Свойства градиента и производной по направлению

    Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

 

служат плоскости, заданные уравнениями

 

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3=C,$

то есть

 

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C=0.$

При изменении $ C$ эта плоскость сдвигается, так что при разных значениях $ C_1$ и $ C_2$ поверхности уровня -- плоскости

 

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_1=0$ и $\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_2=0$

параллельны друг другу.     Физические приложения криволинейных интегралов Математика интегралы и производная. Задачи примеры

Заметим, что если функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}$ , то через каждую точку $ x^0$ области $ {\Omega}$ проходит некоторая поверхность уровня (а именно, поверхность уровня $ C=f(x^0)$ ). Поверхности уровня, соответствующие разным значениям $ C$ , не пересекаются друг с другом. (Действительно, если бы поверхности $ f(x)=C_1$ и $ f(x)=C_2$ , где $ C_1\ne C_2$ , пересекались в некоторой точке $ x^0$ , то функция $ f$ принимала бы в точке $ x^0$ , с одной стороны, значение $ C_1$ , а с другой стороны -- значение $ C_2\ne C_1$ , что невозможно.)

Итак, при передвижении точки $ x\in\mathbb{R}^n$ по поверхности уровня функции $ f$ значения $ f(x)$ не изменяются. Если поверхность уровня представляет собою плоскость $ a_1x_1+\ldots+a_n=C$ , то вдоль любой оси $ \ell$ , лежащей в этой плоскости, производная по направлению $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}$ будет равняться 0, так как во всех точках оси функция $ f$ принимает одно и то же значение $ C$ . Значит, вектор $ \mathop{\rm grad}\nolimits f$ , вычисленный в любой точке этой плоскости, ей перпендикулярен.

Так же обстоит дело и в случае, когда поверхность уровня -- это не обязательно плоскость (но произвольная поверхность): в этом случае градиент оказывается перпендикулярным к касательной плоскости, проведённой к этой поверхности уровня.

Наводящие соображения при этом таковы. Во всех точках поверхности $ {S=\{f(x)=C\}}$ значение функции $ f$ постоянно и равно $ C$ . Рассмотрим поверхность близкого уровня $ C'=C+{\Delta}C$ : $ S'=S_{C+{\Delta}C}$ . Тогда разность значений функции $ f$ в точках поверхностей $ S'$ и $ S$ постоянна и равна $ {\Delta}C$ . Рассмотрим произвольную ось $ \ell$ , проходящую через точку $ x^0$ . Эта ось пересекает поверхность $ S'$ в некоторой точке $ x'$ .

Рис.8.2.



Тогда

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)= \lim_{\substack{\vert x-x^... ... \frac{f(x')-f(x^0)}{\vert x'-x^0\vert}= \frac{{\Delta}C}{\vert x'-x^0\vert}.$

(Приближённое равенство тем точнее, чем меньще $ {\Delta}C$ .) Пусть для простоты $ {\Delta}C>0$ . При постоянном $ {\Delta}C$ последняя дробь принимает наибольшее значение, если знаменатель минимален, то есть точка $ x'\in S'$  -- ближайшая к поверхности $ S$ . Очевидно, что такая точка должна лежать на перпендикуляре к касательной плоскости $ L$ , проведённой к $ S$ в точке $ x^0$ , то есть $ x'\in\ell\bot L$ .

С другой стороны, направление, в котором производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ максимальна -- это направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ . Значит, направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ перпендикулярно касательной плоскости $ L$ , что и требовалось получить.

   

Бурно протекала короткая жизнь великого французского математика, неистового республиканца Эвариста Галуа. О первых годах его жизни почти ничего не известно. Полагают, что исключительно большое дарование по математике обнаружилось у мальчика, когда ему было всего 15 лет. К этим годам он усвоил курс элементарной математики, изучаемый в средней школе, и с увлечением принялся за самые важные и трудные разделы высшей математики. Объектом изучения были ученые трактаты виднейших математиков того времени. Он изучал классические специальные работы Коши, Гаусса и многих других авторов.

Нахождение дифференциала функции, интегрирование Первообразная и производная