Производные неявно заданной функции

Пусть функция $z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

в окрестности точки

(проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные ${\varphi}'_x(1;2)$ и ${\varphi}'_y(1;2)$ . Поскольку для функции

$\displaystyle f(x;y;z)=x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2$

частные производные равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2yz+y^2z^3-4xy^2z^4; \frac{\par... ...}=x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4; \frac{\partial f}{\partial z}=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3$

(и $\frac{\partial f}{\partial z}(1;2;1)=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3\Bigr\vert _{x=1,y=2,z=1}=-18\ne0,$ так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем: _{Двойные интегралы в полярных
координатах

Геометрические приложения
криволинейных интегралов}

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\pa... ...rtial f}{\partial z}}= -\frac{x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4}{x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3}.$

Подставляя координаты точки (1;2;1), находим:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}(1;2)= -\frac{6+4-16}{2+12-3... ...frac{\partial{\varphi}}{\partial y}(1;2)= -\frac{1+4-8}{2+12-32}=-\frac{1}{6}.$

В детстве будущий знаменитый французский математик, физик и астроном Доминик Франсуа Араго увлекался литературой. Чтение художественных книг было его излюбленным занятием. Однажды непредвиденный случай изменил направление всех его мыслей. Как-то раз он совершал прогулку по городскому валу и встретил офицера инженерных войск, который был занят ремонтом укреплений. Офицер был очень молод. В новеньком мундире с золотыми эполетами он выглядел, как картинка.

Нахождение дифференциала функции, интегрирование Первообразная и производная