Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

 

Рассмотрим функцию

 

$\displaystyle f(x;y;z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

и будем трактовать числа $ 0{,}98=1+(-0{,}02);\ 2{,}03=2+0{,}03;\ 1{,}96=2+(-0{,}04)$ как малые отклонения на $ {dx=-0{,}02}$ , $ {dy=0{,}03}$ , $ {dz=-0{,}04}$ от "круглых" значений $ {x_0=1,\ y_0=2,\ z_0=2}$ .

Поскольку

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}; \fra... ...qrt{x^2+y^2+z^2}}; \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

то дифференциал функции равен

Дифференциальные уравнения Примеры вычисления интегралов

$\displaystyle df=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx+ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}d... ...ac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz= \frac{x\;dx+y\;dy+z\;dz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz. $

Значение функции в точке $ (x_0;y_0;z_0)=(1;2;2)$ равно $ f(1;2;2)=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3;$ значения частных производных равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;2;2)=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}... ... \frac{\partial f}{\partial y}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3};$   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}.$   

Поэтому

 

$\displaystyle df=\frac{1}{3}\cdot(-0{,}02+\frac{2}{3}\cdot0{,}03+\frac{2}{3}\cdot(-0{,}04)= -\frac{0{,}04}{3}\approx-0{,}0133$

и

 

$\displaystyle f(1{,}98;2{,}03;1{,}96)=\sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}\approx 3+(-0{,}0133)=2{,}9867.$

    


Франсуа Виет — крупнейший французский математик XVI века. Его иногда называют отцом современной буквенной алгебры, так как он много поработал над введением в алгебру буквенных обозначений. Ему же принадлежит честь изучения алгебраических уравнений в общем виде и установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Виет — по профессии адвокат и крупный государственный деятель. Он был близок ко двору королей. Сначала он был советником парламента в Бретани, затем перешел на службу к королю Генриху III в качестве «докладчика по ходатайствам». После смерти Генриха III поступил на службу к Генриху IV.

Нахождение дифференциала функции, интегрирование Первообразная и производная