Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды

Конструкция определенного интеграла создается на основе построения интегральных сумм для интегрируемой на некото- ром отрезке функции. Причем различных интегральных сумм можно построить бесконечно много. Как правило, полезно в первую очередь рассматривать крайние (экстремальные) значения характеристик объекта исследования и по ним изучать его свойства. В нашем случае этими характеристиками служат наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках разбиения Решение дифференциальных уравнений

Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы . Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Метод замены переменной Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при . Пример Вычислить интеграл

Метод интегрирования по частям. Если и –функции, имеющие непрерывные производные, то , тогда ; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

Интегрирование рациональных дробей

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа. Уравнения в полных дифференциалах, уравнения Лагранжа и Клеро Дифференциальные уравнения высших порядков

Пример. . Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , где m и n–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени: Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей

Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции Пусть – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией Определение определенного интеграла К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Имеет место теорема существования определенного интеграла. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Теорема о среднем значении

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством

Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла. Вычисление площади в декартовых координатах.

Пример. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля

Вычисление длины дуги Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми (рис.6), вычисляется по формуле

Ряды сходимость признак Коши, Даламбера

Теория рядов является одним из важнейших разделов математического анализа. И не столько потому, что многочисленными применениями его проникнуто все здание как самого анализа, так и почти всех опирающихся на него прикладных наук, сколько по той причине, что на сравнительно несложном материале, какой представляет нам собою теория рядов, типичные для всего анализа ходы мыслей, цепи представлений и образов и даже целые логические схемы выступают с особенной ясностью и рельефностью; хорошо известно, что учащемуся, который активно и прочно овладел теорией рядов, дальнейшее усвоение разделов анализа обычно уже не доставляет никаких затруднений.” Соглашаясь с этими словами известного советского математика и педагога А.Я. Хинчина, добавим еще, что теория рядов – это неотъемлемая часть образования математика, физика, инженера, учителя средней школы, ибо она является аппаратом для вычисления значений функций и интегралов, не берущихся в конечном виде, для проведения технических расчетов (например, для определения прогиба балок в строительных конструкциях), она используется при введении новых понятий в различных областях мате- матики (например, понятия интеграла Лебега от простой функции, голоморфной функции в теории функций комплексной переменной), служит средством получения важных результатов как в самой математике, так и в математической физике. Теория рядов непосредственно соприкасается со школьным курсом математики, например, по таким вопросам как арифметическая и геометрическая прогрессии, предел последовательности, бином Ньютона, вычисление значений тригонометрических функций и др.

Числовые ряды

Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность Числовым рядом называется бесконечная сумма Простейшие свойства числовых рядов

Теорема: Ряды сходятся или сходятся одновременно

Необходимый признак сходимости ряда

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. Теорема: (признак сравнения)

Пример: Исследовать на сходимость ряд Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Теорема: (признак Даламбера) Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то

Теорема: (признак Коши) Теорема: (интегральный признак Коши)

Знакопеременные ряды Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Пример: Исследовать на сходимость ряд. Остаток ряда и его оценка

 Функциональные ряды Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда) Всякий степенной ряд сходится при . Если других точек сходимости у ряда нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что . Свойства степенных рядов

Разложение функций в степенные ряды Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Разложение функции в ряд Маклорена. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Комплексные числа

Понятие комплексного числа Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: . Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox.

Некоторые сведения о многочленах

Разложение многочлена на множители Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.