Дифференциальные уравнения Примеры решений

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: задача по определению высоты места над уровнем моря по давлению воздуха на этом месте, задача по определению формы отражателя; дифференциальное уравнение первого порядка, решение дифференциального уравнения, интегральная кривая; задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши; условие Липшица; полные решения, максимальный интервал; общее решение, общий интеграл; частное решение, частный интеграл. Исследование различных физических задач приводит к уравнениям, неизвестными в которых являются функции одной переменной и которые содержат производные неизвестных функций. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными, при этом порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в данное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. При построении математических моделей физических явлений приходится рассматривать наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями также уравнения, неизвестными в которых являются функции нескольких переменных и которые содержат частные производные неизвестных функций. Такие уравнения называются уравнениями с частными производными (или уравнениями математической физики). Найти общее решение дифференциальных уравнений

Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

Функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению первого порядка при любом значении произвольной постоянной C, то есть совокупность всех решений этого уравнения, называется его общим решением. Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , носит название задачи Коши. Среди дифференциальных уравнений первого порядка можно выделить несколько типов уравнений, общие решения которых выражаются через интегралы или, другими словами, выражаются в квадратурах. Примерами таких уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли можно решать двумя способами: методом подстановки Бернулли y = uv , т.е. тем же методом, что и линейное уравнение, или методом сведения к линейному уравнению.

Линейные уравнения первого порядка Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид Пример. Конденсатор емкостью c включается в цепь с напряжением E и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде . Уравнения, допускающие понижение порядка Пример. Решить уравнение .

Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид: то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Теорема. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C–постоянная, то также является решением этого уравнения.

Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пример. Найти общее решение уравнения .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Пример . Составить общее решение дифференциального уравнения .

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме какого–нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения . Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов, с помощью которого в некоторых случаях можно определить решение неоднородного уравнения.

Пример. Решить уравнение . Общее решение неоднородного уравнения составим по формуле . Имеем . Рассмотренные примеры показывают, что дифференциальные уравнения являются мощным инструментом решения различных практических задач. Поэтому будущему инженеру необходимо знать основы теории дифференциальных уравнений и методы их решения.

Пример. Решить уравнение . Решение. Находим общее решение уравнения . Корни характеристического уравнения равны . Тогда . Пусть правая часть неоднородного уравнения представлена в виде тригонометрического полинома .

Пример. Решить уравнение . Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Если правая часть линейного неоднородного уравнения имеет вид , где и –многочлены от x, то форма частного решения определяется так

Функция двух переменных, ее область определения и график Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел. Предел функции двух переменных. Непрерывность Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми. Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва). Вычисление неопределенных интегралов

Частные производные Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x функции в точке к приращению при стремлении к нулю. Частной производной n–го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.

Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков

Экстремум функции двух переменных Пусть функция определена в некоторой области G и точка .

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Производной функции в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или .

Целью данного учебного пособия является формирование у студентов инженерных специальностей вузов основных понятий и положений теории дифференциальных уравнений, обучение студентов методам решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, находящим широкое применение в курсах теории вероятностей, математической статистики, физики и других науках. Всё это будет способствовать подготовке высококвалифицированных инженерных кадров, умеющих применять аппарат дифференциальных уравнений при исследовании различных задач естествознания и техники.

АБЕЛЬ Нильс Хенрик (5.8.1802 – 6.4.1829) – норвежский математик. Род. близ Ставангера. Обучался в
кафедральной школе, а затем в ун-те Христиании (Осло). В 1824 опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах
общего алгебр, ур-ния 5-й степени. В 1825-27 А. был за границей, в частности в Берлине, Париже. В Берлине А.
познакомился с нем. математиком А.Л. Креллем и стал сотрудником его журнала. Мн. классические труды А. были
опубликованы в 1826, но в то время они не принесли автору известности. А. жил в жестокой нужде. Возвратившись на
родину, давал частные уроки, в 1828 получил должность доц. в ун-те и инженерной школе Осло. В дек. 1828 А. простудился,
заболел пневмонией и 6 апр. 1829 умер. В 1830 Париж. АН присудила ему (посмертно) и нем. математику К. Г. Якоби
премию за развитие эллиптических функций. Собр. соч. А. вышло на франц. яз. в 1839.